拉格朗日（Lagrange）插值多项式的基函数构造法(详细推导)

先从最简单的一次插值(n = 1) 开始, 求作一次式 \(L_{1}(x)\), 使之满足条件

\[L_{1}(x_{0}) = y_0, \quad L_1(x_1) = y_1.\]

从几何上看, \(y = L_1(x)\) 即是过点 \((x_0, y_0)\) 和 \((x_1, y_1)\) 的直线, 由解析几何知道, 这条直线可用点斜式表示为

\[L_1(x) = y_0 + \frac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0}(x - x_0). \qquad (1)\]

线性插值公式 \((1)\) 亦可表为下列两点式

\[L_1(x) = \frac{x - x_1}{x_0 - x_0}y_0 + \frac{x - x_0}{x_1 - x_0}y_1. \qquad (2)\]

若记

\[l_0(x) = \frac{x - x_1}{x_0 - x_1}, \quad l_1(x) = \frac{x - x_0}{x_1 - x_0},\]

则式 \((2)\) 还可写为

\[L_1(x) = y_0l_0(x) + y_1l_1(x) = \sum_{i = 0}^{1}y_il_i(x),\]

其中, \(l_i(x)\) 称为插值基函数, 它们的图形见下图,

且有如下特点:

\[ \left\{ \begin{matrix} \begin{align} & l_0(x) + l_1(x) = 1, \\ & l_0(x_0) = 1, \: l_0(x_1) = 0, \\ & l_1(x_0) = 0, \: l_1(x_1) = 1, \\ \end{align} \end{matrix} \right. \qquad (3) \]

即

\[ l_i(x_j) = \delta_{ij} = \left\{\begin{matrix} 1, \quad i = j, \\ 0, \quad i \neq j, \\ \end{matrix}\right. \quad i, j = 0, 1. \]

由上可见, \(\displaystyle l_0(x) = \frac{x - x_1}{x_0 - x_1}\) 与 \(\displaystyle l_1(x) = \frac{x - x_0}{x_1 - x_0}\) 满足条件 \((3)\) 且都是线性函数,反过来,如果一次函数 \(l_0(x)\) 与 \(l_1(x)\) 满足条件 \((3)\), 那么可以证明, 它们只能是 \(\displaystyle \frac{x - x_1}{x_0 - x_1}\) 与 \(\displaystyle \frac{x - x_0}{x_1 - x_0}\).

事实上, 由代数多项式的性质值, 如果 \(x_0\) 是一个 \(n\) 次多项式 \(L_n(x)\) 的零点, 则多项式 \(L_n{x}\) 就一定含有一因子 \((x - x_0)\), 这时

\[L_n(x) = (x - x_0) L_{n - 1}(x), \]

其中, \(L_{n - 1}(x)\) 为 \(n - 1\) 次多项式.

因此, 对于一次函数 \(l_0(x)\), 性质 \(l_1(x_1) = 0\) 说明 \(x_1\) 是 \(l_0(x)\) 的零点, 这时 \(l_0(x)\) 含有因子 \((x - x_1)\); 由于 \(l_0(x)\) 是一次多项式, 所以

\[l_0(x)= c(x - x_1), \qquad (4)\]

其中, c 是常数. 又由 \(l_0(x_0) = 1\), 将其代入式 \((4)\), 得 \(\displaystyle \frac{1}{x_0 - x_1}\), 于是得

\[l_0(x)= \frac{x - x_0}{x_0 - x_1}.\]

同理可得

\[l_1(x) = \frac{x - x_0}{x_1 - x_0}.\]

函数 \(l_0(x), l_1(x)\) 也常称一次 \(Lagrange\) 基函数.

一般情形:

求作 \(n\) 次式 \(L_n(x)\), 使之满足

\[L_n(x_i) = y_i = f(x_i), \quad i = 0, 1, ..., n. \qquad (5)\]

从几何上看, 就是求作 \(n\) 次曲线 \(y = L_n(x)\), 使之通过 \((n + 1)\) 个点 \((x_0, y_0), (x_1, y_1), ..., (x_n, y_n)\). 设

\[L_n(x) = \sum_{i = 0}^{n} y_i l_i(x),\]

也就是仍从构造所谓插值基函数 \(l_i(x)\) 入手, 由插值条件 \((5)\) 知 \(l_i(x)\) 应满足条件 \(l_i(x) = \delta_{ij}, \: i, j = 0, 1, ..., n\), 即 \(n\) 次多项式 \(l_i(x), \: i = 0, 1, ..., n\) 满足条件

\[ \left\{ \begin{matrix} \begin{align} & l_0(x_0) = 1, l_0(x_1) = 0, ..., l_0(x_n) = 0, \\ & l_1(x_0) = 0, l_1(x_1) = 1, ..., l_1(x_n) = 0, \\ & \cdots \cdots \\ & l_n(x_0) = 0, l_n(x_1) = 0, ..., l_n(x_n) = 1. \\ \end{align} \end{matrix} \right. \qquad (6) \]

由条件 \((6)\) 知, \(n\) 次多项式 \(l_0(x)\) 有 \(n\) 个零点, 它们为 \(x_1, x_2, ..., x_n\), 所以

\[l_0(x)= c_0(x - x_1)(x - x_2) \cdots (x - x_n), \qquad (7)\]

其中, \(c_0\) 为待定常数; 把 \(x = x_0\) 代入式 \((7)\), 并注意到 \(l_0(x_0) = 1\), 可推得

\[l_i(x) = \frac{(x - x_0) \cdots (x - x_{i - 1}) (x - x_{i + 1}) \cdots (x - x_n)}{(x_i - x_0) \cdots (x_i - x_{i - 1})(x_i - x_{i + 1}) \cdots (x_i - x_n)} = \prod_{j = 0 \\ i \neq j}^{n} \frac{x - x_j}{x_i - x_j}. \qquad (8)\]

于是 \(y = f(x)\) 的 \(n\) 次插值多项式可写为

\[L_n(x) = \sum_{i = 0}^{n} y_il_i(x) = \sum_{i = 0}^{n} (\prod_{j = 0 \\ j \neq i}^{n} \frac{x - x_j}{x_i - x_j})y_i. \qquad (9)\]

易验证有 \(\displaystyle L_n(x_i) = \sum\limits_{i = 0}^{n} y_i l_i(x_i) = y_i\), 即 \(L_n(x)\) 满足插值条件 \((5)\). 形如式 \((9)\) 的插值多项式称为 \(Lagrange\) 插值多项式, 由式 \((8)\) 所表示的 \(n\) 次代数多项式 \(l_i(x)(i = 0, 1, ..., n)\) 称为以 \(x_i(i = 0, 1, ..., n)\) 为节点的 \(Lagrange\) 插值基函数. 上述构造插值多项式的方法叫做基函数法.

特别地, 一点零次插值多项式为

\[L_0(x) = y_0,\]

两点一次插值(线性插值)多项式为

\[L_1(x) = \frac{x - x_1}{x_0 - x_1}y_0 + \frac{x - x_0}{x_1 - x_0}y_1,\]

三点二次插值(抛物插值)多项式为

\[ \begin{equation} {L_2(x) = \frac{(x - x_1)(x - x_2)}{(x_0 - x_1)(x_0 - x_2)} y_0 + \frac{(x - x_0)(x - x_2)}{(x_1 - x_0)(x_1 - x_2)} y_1 + \frac{(x - x_0)(x - _1)}{(x_2 - x_0)(x_2 - x_1)} y_2. \qquad (10) } \end{equation} \]

按: 本博客内容摘自《数值分析》(李红).