李煜东算法竞赛进阶指南CH0102方法二-hack

所谓的 hack,就是找到用例,使其代码不通过。

先讲一下这道题的缘由。之前忘了什么时候翻开过这本算法竞赛进阶指南,然后看到这里卡住了。然后,现在重新来思考这道题的方法二。书里面给的描述如下,

然后,我就对照着理解,以前无法对其进行彻底的分析,现在随着知识面扩宽了,所以,对一些细节的东西就可以去分析了,在这里就体现为对数据类型的具体的范围会更加地清晰。比如,这里的说的 long double 在十进制下的有效数字有 18~19 位,实际上,在微软的 msvc 编译器这样一种实现中,它只有 15~16 位,之所以会有 15~16 位,是因为精度不足的时候会进行舍和入,具体的舍和入的规则需要去看 IEEE754 文档和各个平台的编译器的具体实现,而如果刚好需要舍去的那一位是 0,那么,就不影响实际的精度。这个可以看下微软的文档

然后,经过实际的测试,发现 gcc13 编译器实现的 long double 的有效数字位是 18~19 位。

对于作者自己在 github 仓库里面放置的几个测试用例,我运行了一下,并且使用 Python 验证了一下,发现都是正确的。

按:这里为什么使用 Python 来验证呢?是因为 Python 默认就是支持大整数运算的,不存在什么位数限制的问题。这个我想接触过 Python 的同志都是知道的。

然后呢,我就在默认他这个算法是正确的前提下,尝试去理解它的细节上的原理,其实说来说去就是在浮点数的舍入过程中出了问题,下面是我在思考的过程中打的草稿,

核心的要义在于,long double(msvc 编译器) 在舍入的时候会产生 \(1 \sim 5 \times 10^{17}\) 的误差,这个误差当然是会影响最终的结果的,如果发现没有影响到最终的结果,那也只是凑巧。

接下来,就来测试一下我们的使其不通过的数据,

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a = 8765432112345678
b = 8765432112953417
p = 87654321123456788

这个数据下,\(a \times b \; \% \; p\) 的正确结果是 \(54345679096057018\),而运行作者给出的程序给出的结果是 \(15009041312430882\)。显然相异。

测试代码如下,

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#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
/*
计算 a * b % p
*/
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
using namespace std;
long long a, b, p;

typedef unsigned long long ull;
ull mul(ull a, ull b, ull p) {
a %= p, b %= p; // 当a,b一定在0~p之间时,此行不必要
ull c = (long double)a * b / p;
ull x = a * b, y = c * p;
long long ans = (long long)(x % p) - (long long)(y % p);
if (ans < 0) ans += p;
return ans;
}

int main() {
/*
a: 8765432112345678
b: 8765432112953417
p: 87654321123456788
*/
// freopen("./liyuds_cases/mul4.in", "r", stdin);
a = 8765432112345678;
b = 8765432112953417;
p = 87654321123456788;
// cin >> a >> b >> p;
cout << mul(a, b, p) << endl; // correct answer is 54345679096057018, while here output is 15009041312430882
}

说明一下,这个代码是经过作者自己修改的,我取的是目前的 github 上的最新版,早期的书上的原版的代码,其不通过的用例更好找。

这里再简单讲下我是怎么去找错误用例的,其实就是通过下面的程序去发现,

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#include <algorithm>
#include <bitset>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iomanip>
#include <iostream>
#include <limits>

#define ll long long


typedef unsigned long long ull;

using namespace std;

long long a, b, p;

ull mul(ull a, ull b, ull p) {
a %= p, b %= p; // 当a,b一定在0~p之间时,此行不必要
ull c = (long double)a * b / p;
ull x = a * b;
ull y = c * p;
long long ans = (long long)(x % p) - (long long)(y % p);
if (ans < 0) ans += p;
return ans;
}

ll mul_v2(ll a, ll b, ll p) {
ll ans = 0;
while (b) {
if (b & 1) ans = (ans + a) % p;
a = a * 2 % p;
b >>= 1;
}
return ans;
}

int main() {
ll p = (ll)87654321123456788;
for (ll a = 8765432112345678; a < 87654321123456788; a++) {
for (ll b = 8765432112345678; b < 87654321123456788; b++) {
if (mul_v2(a, b, p) != mul(a, b, p)) {
cout << "a => " << a << ", b => " << b << endl;
cout << mul_v2(a, b, p) << ", " << mul(a, b, p) << endl;
}
}
}
}

这里我一开始还打算遍历所有的测试用例,直接来一个三层循环,每一层是 \(10^{18}\),写完发现似乎花费的时间过于多了。还是想一下技巧吧,就把范围限制在了上面的程序中的这个区间,这个程序也不需要等它全部运行完,只要有我们想要的结果跑出来就可以了。

说一下我对这本书的感受吧。最近几天也在带着看刘汝佳的那本紫书,那一本书给的示例代码可能稍微好一点,毕竟都是 uva 的题目嘛,其质量和测试用例都可以得到保证,尤其是有一个 udebug 的网站,所以,其代码理解起来就稍微轻松一点。我当初看李煜东的这本书的时候就在这里被卡住了,那时我似乎隐约找出了当初那个版本的不通过的测试用例,但那时并没有很多的信心。就没有继续往下看了。啊对,那时我对补码的理解依旧是不完善,所以,读这个第一章就很磕磕绊绊。如果有喜欢钻牛角尖的同志,大概可以理解我的想法。现在,可以说是对补码这些基础概念理解得比较透彻了,还有什么 IEEE754 也都可以理解得很清楚了。

不过,也回头感慨一句,时光荏苒。


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